ESTRELLA MÁGICA DE CINCO PUNTAS

Si tal estrella existiera, debería tener de constante mágica 22.

En efecto:

• La suma de los números del 1 al 10 es 55.
• Hay cinco filas de 4 números distintos y cada número pertenece a dos filas distintas.
• Luego 5 veces la constante mágica será 55*2=110, y dicha constante tendrá que valer, pues, 22.

Si hubiera solución, ésta tendría que estar formada por 5 de estas cuaternas, con la condición de que cualesquiera dos cuaternas de estas cinco tuvieran en común un único número, pues cada fila de la estrella se corta con otra fila en un único punto. Además cada número del 1 al 10 debe aparecer en dos cuaternas de las cinco que formen la solución.

Supongamos que la primera cuaterna: (10,9,2,1) forma parte de la solución; entonces la cuaterna (10,8,3,1) no estaría en la solución, pues tiene en común con la (10,9,2,1) los números 10 y 1. Razonando de forma análoga con las otras cuaternas donde aparece el 10, resulta que la única que podría forma parte de la solución sería (10,5,4,3).

Por el momento, nuestra hipotética solución, está formada por (10,9,2,1) y por (10,5,4,3). Si ahora nos fijamos en todas las cuaternas que tienen el 9, resulta que todas tiene en común con alguna de las dos anteriores dos números; luego hemos llegado a la conclusión de que la solución no podría tener la cuaterna (10,9,2,1). Nuestra lista de cuaternas candidatas a formar parte de una solución se ha reducido en una y ahora es:

Supongamos, pues, que la solución contiene la cuaterna (10,8,3,1), razonando como antes, resulta que sólo podría ir con ella la formada por (10,6,4,2). Si nos fijamos en las que tienen el 8, resulta que sólo puede ir con estas dos la (8,7,5,2). Las dos cuarternas de la posible solución que nos faltan deben de tener el 9 y además, una de ellas, también el 7. Con el 9 y el 7 sólo tenemos dos (9,7,5,1) y (9,7,4,2) y ninguna nos sirve para poder seguir construyendo la solución. La (9,7,5,1) tiene en común con la (8,7,5,2) los números 7 y 5; y la (9,7,4,2) tiene en común el 4 y el 2 con la (10,6,4,2).

Luego tampoco la (10,8,3,1) puede formar parte de la solución y será eliminada de la lista:

Ahora tomamos la (10,7,4,1), que tampoco puede formar parte de una solución, pues no hay otra cuaterna que tenga el 10 y otros tres números diferentes del 7, 4 y 1. Se reduce un poco más la lista, ya quedan menos.

Con la (10,7,3,2) puede ir de compañera la (10,6,5,1). Busquemos todas las que tienen 7: (9,7,5,1), (9,7,4,2), (8,7,6,1), (8,7,5,2), (8,7,4,3), (7,6,5,4); y comparémoslas con las dos anteriores. Veremos que todas tienen con una o con otra dos elementos en común. La lista se reduce aún más.

La (10,6,5,1) tiene siempre dos elementos en común con las otras dos cuaternas que tienen el 10. Esto se está acabando.

La (10,6,4,2) tiene el 10 y el 4 en común con la (10, 5, 4, 3). Esto se terminó.

Conclusión: no podemos colocar los números del 1 al 10 formando una estrella mágica de 5 puntas.

Ha sido una demostración tediosa, pero es la única que se me ha ocurrido. En realidad, antes de pensar esta demostración ya sabía que no había solución, pues, como se ha dicho a lo largo del estudio de los cuadrados mágicos de orden 3 y 4, todo consiste en resolver un sistema de ecuaciones. En el caso de la estrella de 5 puntas, un sistema de 5 ecuaciones con 10 incógnitas que depende de 5 parámetros. Programando adecuadamente un ordenador se puede explorar toda la casuística (el número de casos es V_10,5=30.240) y obtener todas las soluciones que hubiera. Éste es también el método seguido para calcular las soluciones de los cuadrados de orden 4 y de la estrella de 6 puntas.

Estrellas_magicas