PERPENDICULARIDAD DE RECTAS Y DE RECTA Y PLANO
Geometría
 
1. RECTAS PERPENDICULARES EN EL ESPACIO

En geometría plana se vio que por un punto sólo se puede trazar una perpendicular a una recta dada.

 

Para averiguar qué ocurre en la geometría del espacio distinguimos dos casos.

 

A) cuando se traza la perpendicular a una recta desde un punto exterior a ella.

B) cuando se traza la perpendicular a una recta desde uno de sus puntos.

 

El control numérico pausa expresa, en milisegundos, el tiempo que transcurre entre cada paso de la animación: los valores pequeños hacen que la animación sea más rápida y viceversa.

 

Pulsando alternativamente el botón (animar/pausa) que aparece en la esquina inferior derecha de la escena se arranca/para la animación. El botón que aparece a su izquierda reinicia la animación desde el comienzo.

 

Las escenas que siguen tratan los casos anteriores:

caso A: perpendicular a una recta desde un punto exterior a ella  

1.- Arranca la animación y observa los distintos textos que aparecen en la parte superior de la escena. 
Arrastrando el ratón con el botón izquierdo oprimido se hace girar el espacio (en torno a un eje vertical si lo hacemos de izquierda a derecha y en torno a un eje horizontal si arrastramos de arriba abajo). Si efectuamos un tirón al arrastrar, el giro permanece; un clic lo detiene. Pulsando el botón inicio la escena restaura los valores iniciales. 

2.-Teniendo en cuenta que la recta r y el punto P están situados en un plano p y que en geometría plana por un punto exterior a una recta sólo se puede trazar una perpendicular, en el espacio ¿cuántas perpendiculares a una recta se pueden trazar desde un punto exterior a ella? 

caso B: perpendicular a una recta desde uno de sus puntos. 

3.- Arranca la animación y observa las distintas posiciones de la recta r´. 
Dos o más rectas determinan un plano  si existe un plano que las contiene.

4.-¿Cuántas rectas (como r´) perpendiculares a la recta r por uno de sus puntos P se pueden trazar?

5.-¿las rectas anteriores determinan un plano?
2. PERPENDICULARIDAD DE RECTA Y PLANO

La siguiente escena animada nos permite visualizar qué ocurre con las rectas r´ que pasan por el punto P de corte de una recta r y de un plano p perpendiculares. 

 

El control numérico pausa expresa, en milisegundos, el tiempo que transcurre entre cada paso de la animación: los valores pequeños hacen que la animación sea más rápida y viceversa.
  6.- Arranca la animación y observa las distintas posiciones de las rectas r´ que pasan por el punto P (pie de la perpendicular de la recta r y el plano p) 

7.- Observa que una recta r y un plano p son perpendiculares si r es perpendicular a cualquier recta r´ que pase por el pie de la perpendicular (punto P). Teniendo en cuenta que el plano p que contiene a las rectas r´ queda determinado por dos de ellas completa la siguiente frase:

Una recta es perpendicular a un plano si lo es a ____ rectas cualesquiera del plano que pasan por su ____ . 
3. PERPENDICULARIDADES EN EL CUBO

A continuación, utilizando las aristas de un cubo y una de sus caras, veremos los casos de perpendicularidad estudiados más arriba.

8.- Observa las figuras anteriores y denotando las aristas del cubo por los dos vértices que la definen responde:

a) En la escena de la izquierda ¿Cuántas aristas que pasan por P son perpendiculares a la arista QR? Escríbelas

b) En la escena central ¿Cuántas aristas que pasan por el punto Q de la arista QR son perpendiculares a ella? Escríbelas.

c) En la escena derecha ¿Cuántas aristas perpendiculares al plano P´Q´R´S´ hay? Escríbelas.
     
  Javier de la Escosura Caballero
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2003