Las parábolas y=a x2 + k.
4º de E.S.O. Opción B.
 


4.- Las parábolas  y = ax2.

En la siguiente escena está dibujada en color rojo la parábola de ecuación y=x2

Cambiando el valor de a, podrás ver las gráficas de funciones como por ejemplo y= -x2, y= 3x2, y= -(1/2)x2, y= 2x2 etc.

Observa cómo influye el valor de a en la forma de la parábola. La parábola y=2x2 es más ancha es decir, se aleja del eje OY más que la de ecuación y=3x2.

Escena 1

Modifica los valores de a y observa lo que ocurre si introduces números negativos.

En la escena aparece una tabla de valores para las funciones: y=x2   

y=a x2    



EJERCICIOS.

7.- En tu cuaderno, responde a las siguientes preguntas: 

a)  ¿Qué parábola es más ancha y=-3x2 ó y=0.2x2 ?

b) ¿Qué parábola es más estrecha y=2x2 ó y=0.5x2 ?

c) Clasifica por la forma de sus gráficas las parábolas y=2x2 , y=1.5x2 , y=-x2  y=-3x2 , y=-2.3x2 , y=4x2 .

Observa:

Si a>0, la parábola tiene la forma: . Se dice que es cóncava hacia arriba.

Si a<0 ,la parábola tiene la forma: .Se dice que es cóncava hacia abajo.

Conforme mayor sea a en valor absoluto, la parábola es más estrecha es decir, más cercana al eje OY.

La función y=ax2 tiene las siguientes características:

>Su Dominio es R.

>Es simétrica respecto al eje OY, ya que f(-x)=f(x).

>Es una función continua

>Si a>0, la función es decreciente para x<0 y creciente para x>0. Tiene, por tanto, un mínimo en (0,0) que es el vértice de la parábola.

>Si a<0, la función es creciente para x<0 y decreciente para x>0. Tiene, por tanto, un máximo en (0,0) que es el vértice de la parábola.

5.- Las parábolas    y =a x2 + k.

 

 En la siguiente escena, si fijas el valor de a=1, aparecerá dibujada en color rojo la parábola de ecuación y=x2, y en color azul las parábolas de ecuación  y=x2+k.

 Cambiando el valor de k, podrás hacer investigaciones y relacionar  las gráficas de las funciones y=x2+k con la de y=x2.

 A continuación, trabaja cambiando también el valor de a.

Observa  cómo puedes representar funciones como y=x2+3,  y=x2+7,  e y=x2-4 a partir de la función y=x2.

Escena 2

Utilizando los controles a y k, podrás representar  las gráficas de las funciones :     y =ax2+k.

Utiliza el control x para hacer una tabla de valores que te ayude en tus investigaciones.

El vector de origen P puede moverse por la escena. 

  Observa cómo:

 La gráfica de y = x2-2 se obtiene trasladando hacia arriba la gráfica de la función y = x2,2 unidades hacia abajo.

 A partir de la gráfica de y = - x2, se obtiene la de y = - x2+1 trasladando la inicial 1 unidad hacia arriba.

  EJERCICIOS.

Utilizando lo que has aprendido en esta unidad, realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios:

  8.- A partir de la gráfica de y=x2,  representa las gráficas de y=x2 -1, y=x2 +3,y= x2 +2 e    y=x2-0.5.

  9.- A partir de la gráfica de y=-x2, representa las gráficas de y=-x2 +0.5, y=-x2 +3, y= -x2 +2 e y=-x2-1.

  10.- A partir de la gráfica de y=2x2, representa las gráficas de y=2x2 -1,y=2x2 +3, y= 2x2 +2 e y=2x2-0.5.

  11.- A partir de la gráfica de y=-3x2, representa las gráficas de y=-3x2 +1, y=-3x2 +2, y= -3x2 -2 e y=-3x2-0.5.

 

  La gráfica de la función y=ax2+k, se puede trazar a partir de la gráfica de  y=ax2 , trasladando ésta, k unidades hacia arriba si k>0 o bien trasladándola k unidades hacia abajo si k<0.



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  Constanza Irizo Gaviño
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2004