Geometria

	Problemas con rectas en paramétricas
	Bloque: Geometría

5. PROBLEMAS CON RECTAS EN PARAMÉTRICAS

5.1. PUNTOS DE UNA RECTA

r:	Dando un valor numérico al parámetro t, obtendremos valores para x e y. Son las coordenadas de un punto de r.
Para comprobar si un punto P(x₀,y₀) pertenece o no a r, sustituiremos sus coordenadas en la x y la y de la recta
El punto pertenecerá a la recta siempre y cuando se obtenga el mismo valor de t en ambas ecuaciones.

EJERCICIO 14

Tenemos en esta escena la recta r:

1.- Calcula en tu cuaderno las coordenadas de puntos X de r, dando a t los siguientes valores:
t = 0.5
t = -1
t = -2.3
Comprueba si tus cálculos son correctos cambiando el valor de t en los botones inferiores de la escena.

2.- ¿Pertenece el punto Q(-2, 4.5) a r?
Para averiguarlo:
-Sustituye x por -2 en la ecuación de r y halla el valor de t .
-Sustituye y por 4.5 en la ecuación de r y halla de nuevo t.

Si los dos valores de t coinciden, el punto Q pertenece a la recta.

3.- Compruébalo en la escena, bien moviendo con el ratón el punto Q, bien introduciendo los valores de Q.x = -2 y Q.y = 4.5 en los botones inferiores. En la misma escena verás los valores de t que has calculado y si el punto Q se coloca sobre la recta o no.

4.- Por el mismo procedimiento del apartado anterior, averigua si el punto Q(-6,8) pertenece a r.

5.- ¿Cuánto tiene que valer m, para que el punto Q(4,m) pertenezca a r?.

5.2. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD DE RECTAS

Si (d₁, d₂) es un vector dirección de r, entonces:

Cualquier recta con vector dirección (d₁, d₂) o proporcional a él, (kd₁, kd₂), k ¹ 0, es paralela a r o coincide con r

Cualquier recta con vector dirección (d₂, -d₁) o proporcional a él, (kd₂, -kd₁), k¹ 0, es perpendicular a r

EJERCICIO 15

En esta escena tenemos una recta r

y un punto cualquiera P.

El punto conocido de r es Q(a,c) y su vector dirección d(b,d).

Vemos también que están dibujadas una recta paralela y otra perpendicular a r que pasan por P.

1.- Escribe en tu cuaderno las ecuaciones de una recta paralela y otra perpendicular a r , que pasen por P (9,3) .

2.- Comprueba el resultado en la escena, cambiando el punto P, arrastrándolo con el ratón, y la recta r cambiando los valores de a, b, c y d, en los botones inferiores.

5.3. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

Dadas las rectas r₁: r₂:	para hallar su posición relativa, resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas, t y s:
Igualamos la x y la y de las dos rectas utilizando parámetros distintos, t y s, para una y otra.
Si el sistema tiene solución única (t₀,s₀), las rectas se cortan en un punto, cuyas coordenadas se obtienen sustituyendo, en r₁, t por t₀, o bien, en r₂, t por s_{0 .}
Si el sistema no tiene solución, las rectas son paralelas.
Si el sistema tiene infinitas soluciones, son la misma recta.

EJERCICIO 16

Las rectas que aparecen en el inicio de esta escena son:

y
En ella podremos cambiar los valores de a, b, c y d, que corresponden a la recta r₁, Esto es, el punto de r₁ es (a,c)=(5,0) y su vector dirección es (b,d)=(-1,3)

1.- Iguala las x y las y de las dos ecuaciones, llamándole s al parámetro de r₂. Resuelve el sistema resultante. Te debe dar una solución única de t y s.

2.- Sustituye t en r₁ o s en r₂ para hallar el punto P de intersección de las dos rectas. La solución la tienes en la escena. Compruébala.

3.- En los botones inferiores de la escena cambia el valor de b, pones b=2, y el de d, pones d= -3. ¿Qué hemos cambiado en la recta r₁?

Te recuerdo que puedes teclear los nuevos valores y pulsar enter

4.- ¿Cómo son ahora r₁ y r₂? Resuelve el sistema de nuevo como comprobación.

5.- Ahora pones a=1, b=-6, c=3 y d=9 ¿Qué ha pasado? Resuelve el sistema ahora.

6.- Como siempre, puedes cambiar los valores de a, b, c y d, como quieras e irás viendo el efecto en la escena.

	Ángela Núñez Castaín

	© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001