DE LOS RACIONALES A LOS REALES
Álgebra
 

5.- El paso de Q (Racionales) a R (Reales)
En la siguiente escena está representada gráficamente la función: y = ax2 + bx + c, donde puedes cambiar los valores de a, b y c para ver cómo cambia la gráfica para distintos valores de esos coeficientes.

Escribe en tu cuaderno las respuestas a las siguientes preguntas:

5a)  En el inicio, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos P1 y P2, donde la gráfica corta al eje X?

5b) ¿Cómo calcularías algebraicamente esas coordenadas?

5c) ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación
x2-4x+3=0?

5d) ¿Y las de x2-2x+1=0?

5e) ¿Y las de x2-6x+11=0?

5f) Puedes dar otros valores a los coeficientes a, b y c, y con la ayuda de la escena ir resolviendo la ecuación

ax2+bx+c=0

Ya habrás deducido que para hallar los puntos de corte con el eje X de la gráfica de la función: y=ax2+bx+c has tenido que resolver la ecuación: ax2+bx+c=0 mediante la fórmula: que nos da las dos soluciones de la ecuación, x1 y x2, o lo que es lo mismo los puntos de corte de la función con el eje X: P1(x1,0), P2(x2,0)

Pero no siempre da dos soluciones, como habrás visto en las ecuaciones de los puntos 5d) y 5e).

 

5g) Contesta ahora en tu cuaderno: ¿De qué depende que la ecuación tenga dos, una o ninguna solución?

 

CONCLUSIONES

Si llamamos D=b2-4ac, discriminante de la ecuación de segundo grado entonces:

DISCRIMINANTE ECUACIÓN FUNCIÓN
D>0 Dos soluciones Dos puntos de corte con el eje X
D=0 Una solución Un punto de corte con el eje X
D<0 Ninguna solución Ningún punto de corte con el eje X

5h) Intenta resolver, sin salir de Q, las siguientes ecuaciones en el cuaderno:

a) 3x2-12=0 b) x2-6x+8=0
c) 2x2+x-1=0 d) x2-2=0

5i) ¿Cuáles de ellas no tienen solución en Q?

5j) ¿Qué tipo de números han resultado cuando las soluciones no pertenecían a Q?

Introduce los valores de a, b y c en la escena, y para comprobar tus resultados pulsa el control soluciones.
Las cuatro ecuaciones propuestas dan soluciones o RACIONALES o IRRACIONALES

5k) Resuelve ahora las siguientes ecuaciones en tu cuaderno:

a) x2-9=0 b) 5x2-15=0
c) x2-3x-4=0 d) 2x2-5x+1=0
e) 7x2-7x=0 f) 2x2+3x=0

5l) ¿Qué ecuaciones se pueden resolver en Q?

5m) ¿Qué soluciones son RACIONALES y cuáles son IRRACIONALES?

5n) Comprueba tus resultados en la escena


6.- Los números reales (R)
El conjunto de los números REALES es R, y está formado por los RACIONALES y los IRRACIONALES. Con estos números podemos sumar, restar, multiplicar y dividir siempre, pues el resultado será un número real.

Todos los números REALES se pueden representar por un punto de la llamada RECTA REAL. Y viceversa, todo punto de la RECTA REAL representa un NÚMERO REAL, tal como hemos visto antes.


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  Juan Madrigal Muga y Ángela Núñez Castaín
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2003