SUPERFICIES CÓNICAS
Geometría
 
1. CIRCUNFERENCIAS Y SUPERFICIES CÓNICAS
Hemos visto que las ecuaciones paramétricas de la circunferencia en el plano nos permiten obtener fácilmente las ecuaciones paramétricas de ciertas circunferencias en el espacio, las siguientes ecuaciones:

donde r es fijo y u recorre [0, 2p], son las ecuaciones de la circunferencia de radio r con centro en el punto (0,0,2) del eje Z y que está en un plano paralelo al XY

Si consideramos las ecuaciones:

 


donde r es fijo, u recorre [0, 2p] y suponemos que el parámetro v recorre el intervalo [-4,4], lo que obtenemos es una superficie cónica con vértice en el origen de coordenadas y directriz la circunferencia anterior.

La superficie está formada por los puntos P(x,y,z) tales que el vector OP se puede obtener como v.OC, con C en la circunferencia y v un número cualquiera. La superficie está formada por dos hojas. Los valores negativos de v proporcionan puntos de la superficie situados en la hoja contraria a la que contiene a la circunferencia directriz.
1.- Coloca el puntero del ratón sobre la escena, pulsa el botón izquierdo y con él pulsado desplaza el ratón y verás como gira. Si pulsas el derecho y arrastras hacia arriba verás como se acerca, hacia abajo se aleja.
El giro se produce entorno al eje Z, pero el eje Z sólo gira en el plano perpendicular a la pantalla y no se le puede sacar de ese plano.
Si efectuamos un tirón al arrastrar el giro permanece; un clic lo detiene. Debes practicar lo suficiente para dominar el movimiento y que no te resulte caótico
Practica con tirones suaves  para que el movimiento sea lento. Aprende a detener el giro haciendo un clic en la escena.
Practica el alejamiento y acercamiento de la figura (zoom). Es fundamental que domines estos recursos.

2.- Con los controles de la parte inferior de la escena puedes desplazar la circunferencia (cambiar a otra) según el eje Z y hacer que aparezca o desaparezca la superficie cónica que tiene a la circunferencia por directriz y el origen de coordenadas por vértice.
2. MÁS CIRCUNFERENCIAS Y SUPERFICIES CÓNICAS
Si aplicamos la translación de vector (a,b,c), la circunferencia se desplazará manteniéndose en un plano paralelo al inicial y de forma que su centro será el punto (a,b,c). La superficie cónica tendrá por vértice el punto (a,b,c) y su eje será paralelo al eje Z. Las ecuaciones de la nueva circunferencia y las de la superficie cónica que asociamos serán:

3.- Cambia los valores de a, de b y de c, hasta conseguir dominar el desplazamiento de la circunferencia. Observa la modificación de las ecuaciones. 

4.- Activa y desactiva el control que te permite ver la superficie cónica correspondiente a cada circunferencia y cada vértice. Observa que el vértice y la directriz no pueden estar en el mismo plano

 
Practica con el zoom.
Arranca y para los giros. 
El botón Inicio restaura los valores iniciales.
3. ELIPSES Y SUPERFICIES CÓNICAS
Los ejemplos anteriores nos habrán preparado para obtener sin mucha dificultad las ecuaciones de algunas superficies cónicas de directriz una elipse y eje paralelo al eje Z.

Aprovechando lo estudiado sobre hélices y las superficies cónicas que hemos visto aquí, podemos estudiar otras curvas en el espacio; curvas sobre superficies cónicas (una especie de muelles cónicos). Pulsa la flecha de cambio de página para verlas (abajo derecha)
       
           
  Jesús Fernández Martín de los Santos
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2003