GEOMETRÍA MÉTRICA
2º Bachillerato Ciencias de la Naturaleza y de la Salud, y Tecnológico
 
3.2 ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS

El ángulo diedro entre dos planos es el menor de los ángulos que forman sus vectores característicos (perpendiculares al plano). Es un ángulo menor que π/2.

 

En esta escena están representados dos planos π y π', y sus vectores característicos n y n'. Estos vectores se trasladan paralelamente para que tengan origen común y observar mejor el ángulo que forman. También está (en gris) la recta en la se cortan los planos. Todo se ve mejor aún si mueves la escena de forma que la recta se vea como un punto.

Sea (π,π') el ángulo que forman los planos π y π'. Al elegir los dos vectores característicos, n y n', no sabemos, a priori, si elegimos los que forman el ángulo que buscamos o el suplementario. Pero su producto escalar puede ser positivo (forman un ángulo entre sí menor que π/2), negativo (ángulo entre π/2 y π) o nulo (perpendiculares). Con lo cual:

Si y son los dos planos, entonces

En particular (y con n y n' no nulos porque sino no dan una dirección):

  • π y π' son perpendiculares n·n'=0

  • π y π' son paralelos n y n' son proporcionales.

En esta escena están representados dos planos, la recta de corte y dos vectores n y n´. Estos se modifican en la parte superior hasta conseguir vectores característicos de cada plano. En la parte inferior aparecen las coordenadas del origen común de los dos vectores y debe ser un punto común a los dos planos (la recta r).

A15.-Los planos representados son:

π ≡ x+y−z=0

   y   

 π' ≡ x+2y−z=−1

 

Busca un punto común y vectores característicos de cada plano. Usa estos datos en la escena para situar los vectores.

¿Qué ángulo forman los planos? (Si tu respuesta anterior es correcta verás la solución en la escena)

Comprueba que el ángulo es el mismo eligiendo otros vectores característicos de cada plano. Observa también que para hallar el ángulo sólo se necesitan los vectores, no se necesitan puntos.

E10.-¿Cuántos planos son paralelos a x+y−z=0? Escribe la ecuación general de uno de ellos. ¿Cuántos planos son perpendiculares a x+2y−z=−1? Escribe la ecuación de uno de ellos.                                               

       
           
  Juan Simón Santamaría
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2003