TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO
Análisis
 
1. BÚSQUEDA DE LA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO
Históricamente la derivada surge para resolver el problema del trazado de la tangente a una curva plana en uno de sus puntos. En esta escena se ve la gráfica de una función y se propone que se tracen las tangentes en algunos puntos.
Para desplazar el punto P sobre la curva puedes usar los pulsadores de colores, escribir el valor de la abscisa a y pulsar la tecla Intro o arrastrar el punto amarillo del eje X con el ratón .

1.- Dibuja en tu cuaderno la gráfica de esta escena, traza las tangentes en varios puntos (A, B, C y D, por ejemplo) y escribe en el cuaderno de trabajo cómo crees que se traza la tangente a una curva en uno de sus puntos.
2. CARACTERÍSTICAS DE LA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO
En esta escena se representa la tangente a la curva en cualquier punto de la gráfica. Se puede ver que la posición relativa de la tangente en cada punto, respecto de la curva, es distinta dependiendo de las características del punto.
Puedes desplazar el punto P como en la actividad anterior.

2.- Observa las tangentes en distintos puntos de la curva, en particular en los puntos A, B, C, D y escribe en tu cuaderno si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas indicando por qué y poniendo ejemplos.
a) Para que una recta sea tangente a una curva en un punto P basta que pase por ese punto.
b) La recta tangente a una curva en un punto P sólo puede tener ese punto de contacto con ella.
c) Siempre hay un entorno del punto P en el que la tangente y la curva sólo tienen ese punto común.
d) La tangente en P deja a la curva en uno de los semiplanos en que la recta divide al plano.
e) Siempre hay un entorno de P en que la recta tangente deja a la curva en uno de los dos semiplanos.

3. Después de responder a estas preguntas escribe en el cuaderno lo que creas que define a la recta tangente a una curva en un punto.
3. APROXIMACIÓN A LA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO
Habrás visto que no es fácil dar una definición de tangente a una curva en un punto P que sirva para todos los casos, sin embargo, sí es fácil definir la secante que pasa por dos puntos P y Q, como la recta que pasa por esos dos puntos. En esta escena utilizaremos las secantes para llegar a definir la tangente.
Para que Q se aproxime a P puedes usar los pulsadores de h o el botón animar. El botón pausa detiene la animación.

4.- Observa las rectas secantes a la curva que pasan por el punto P, cuando Q se aproxima a P (es decir, cuando h tiende a cero).

Puedes pulsar el botón Limpiar para borrar el rastro que van dejando las rectas secantes. El botón Inicio restaura las condiciones iniciales.

5.- Coloca el punto P en a = 1 y observa las secantes por la derecha (h>0) y luego por la izquierda (h<0). ¿A qué recta se aproximan?

6.- Repítelo para a = 0, para a = -1, para a = -2,... Observa que, en cada caso, si Q se aproxima a P, tanto por la derecha como por la izquierda, el límite es la misma recta.

7.- Observa ahora lo que ocurre para a = 2. Explica en tu cuaderno lo que sucede.

8.- Reproduce el proceso con una regla en tu cuaderno, traza con lápiz la secantes que pasan por un punto P y dibuja la tangente.
4. DEFINICIÓN DE TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO
Se puede definir que la recta tangente en un punto de la curva como el límite de las secantes cuando Q tiende a P.
Puedes elegir el número de secantes que se representan entre P y Q.
Con el zoom te puedes aproximar o alegar del punto de tangencia.

9.- Observa la sucesión de secantes en los siguientes casos.

a) Modificando el número de secantes para el mismo punto P.

b) Modificando el valor de h, entre -1 y 1, para el mismo punto P.

c) Modificando el punto P.

El botón animar permite aproximar el punto Q a P a la vez que se hace zoom.
10.- Comprueba que en cualquier punto que elijas (distinto de a=2) las secantes siempre se aproximan a la tangente cuando Q se acerca a P.
       
           
  Juan Madrigal Muga
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001