Indeterminaciones IV.

	Propiedades de los límites: Expresiones indeterminadas IV.
	2º de Bachillerato CCNN y Tecnológico. Análisis.

Indeterminaciones del tipo ¥ / ¥ .

En toda esta página consideraremos dos funciones f(x) y g(x) con límite infinito o menos infinito en un cierto punto a.

Es decir

Vamos a comprobar con una serie de ejemplos que, en estas circunstancias, el límite cuando x tiende al punto a de f(x)/g(x) puede valer cualquier cosa: en unos casos valdrá + ¥ , en otros valdrá cualquier número positivo, en otros valdrá cero, en otros valdrá cualquier número negativo y en otros valdrá - ¥ . Incluso puede suceder que los límites laterales no coincidan.


Haz que la x tome valores próximos al punto a, tanto por la izquierda como por la derecha y observa qué sucede con f(x)/g(x). En este ejemplo el límite cuando x tiende al punto a de f(x)/g(x) es más infinito.	Haz que la x tome valores próximos al punto a, tanto por la izquierda como por la derecha y observa qué sucede con f(x)/g(x). En este ejemplo el límite cuando x tiende al punto a de f(x)/g(x) es menos infinito.

Haz que la x tome valores próximos al punto a, tanto por la izquierda como por la derecha y observa qué sucede con f(x)/g(x). En este ejemplo el límite cuando x tiende al punto a de f(x)/g(x) es más infinito por la izquierda y menos infinito por la derecha.	El parámetro t que aparece en esta gráfica permite que trabajemos con distintas funciones f(x). Todas ellas tienen límite infinito en el punto a, pero el cociente entre f(x) y g(x) va cambiando. Selecciona un valor cualquiera para t, tanto positivo como negativo. Después, acerca la x al punto a para averiguar cuánto vale el límite del cociente cuando x tiende al punto a. Repite el ejercicio para distintos valores de t y observa que se puede obtener cualquier límite.

Haz que la x tome valores próximos al punto a, tanto por la izquierda como por la derecha y observa qué sucede con f(x)/g(x). En este ejemplo el límite de f(x)/g(x) cuando x tiende al punto a es uno.	Haz que la x tome valores próximos al punto a, tanto por la izquierda como por la derecha y observa qué sucede con f(x)/g(x). En este ejemplo el límite de f(x)/g(x) cuando x tiende al punto a es cero.

Infinitos.

Se dice que una función, f(x), es un infinito en un punto a si

Todas las funciones que aparecen en los ejemplos anteriores son infinitos en el punto a. Desde el punto de vista intuitivo un infinito es una función que se hace tan grande en valor absoluto como queramos sin más que aproximar x al punto a.

Una de las cuestiones más interesantes en el estudio de los infinitos es su comparación. Comparar dos infinitos nos permite averiguar cuál aumenta más rápidamente y este conocimiento puede ser muy útil en otros cálculos. Asimismo el saber que dos funciones muy diferentes aumentan a la misma velocidad en las cercanías de un punto nos permite que bajo ciertas condiciones podamos sustituir una por otra en nuestros cálculos y de esa manera simplificarlos. El procedimiento para comparar dos infinitos en un punto a consiste en calcular el límite de su cociente cuando x tiende al punto a. Este procedimiento nos permite establecer la siguiente clasificación:

En todo lo que sigue supondremos que f(x) y g(x) son dos infinitos en un mismo punto a, es decir.

Diremos que f(x) es un infinito de orden superior a g(x) en el punto a si

Ésta es la situación que se verifica en las tres primeras gráficas de esta página. Intutivamente, esto significa que aunque ambos términos de la fracción aumentan en valor absoluto, el denominador lo hace más lentamente que el numerador, por lo que el cociente se hace cada vez más grande, a medida que la x se acerca al punto a.

Diremos que f(x) y g(x) son infinitos del mismo orden en el punto a si

Ésta es la situación que se verifica en la cuarta gráfica de esta página para todos los valores de t, excepto para los que hacen que el límite valga uno o cero. Intutivamente, esto significa que ambas funciones aumentan a velocidades parecidas, aunque no totalmente equivalentes.

Diremos que f(x) y g(x) son infinitos equivalentes en el punto a si

Ésta es la situación que se verifica en la quinta gráfica de esta página. Intutivamente, esto significa que ambas funciones aumentan a la misma velocidad, por lo que en las cercanías del punto a los valores de f(x) y los de g(x) son aproximadamente iguales. Este hecho es de una gran importancia en numerosas ocasiones en los que sustituir f por g simplifique los cálculos.

Diremos que g(x) es un infinito de orden superior a f(x) en el punto a si

Ésta es la situación que se verifica en la sexta gráfica de esta página. Intutivamente, esto significa que aunque ambos términos de la fracción aumentan, el numerador lo hace más lentamente que el denominador, por lo que el cociente se hace cada vez más pequeño, a medida que la x se acerca al punto a.

	José Luis Alonso Borrego

	© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001