"Sean f y g dos funciones con límite infinito en el punto a. Entonces la función f*g también tiene límite infinito en el punto a".

Es decir

Las características de la gráfica son las siguientes: Las funciones de color amarillo son f y g. La función de color turquesa es su producto. La línea verde horizontal representa una cota, K, que la función f*g debe superar cuando x está cerca del punto a. La línea gris horizontal representa la cota raíz cuadrada de K que las funciones f y g deben superar cerca del punto a. Las líneas azules verticales representan un entorno de radio d alrededor del punto a.

1.- Selecciona un valor para K. Ampliando la imagen si fuera preciso averigua para qué valor de d se cumple que si x dista de a menos que d con toda seguridad f(x) es mayor que la raíz cuadrada de K. Anota el valor obtenido. ¿Es siempre posible encontrar un valor d que cumpla esta condición? ¿Por qué?

2.- Con el mismo valor de K que en el apartado anterior averigua para qué valor de d se cumple que si x dista de a menos que d con toda seguridad g(x) es también mayor que la raíz cuadrada de K. Anota el valor obtenido. ¿Es siempre posible encontrar un valor d que cumpla esta condición? ¿Por qué?

3.- Haz ahora que d tome el valor más pequeño de los dos que has obtenido y contesta a la siguiente cuestión. Si x está dentro del intervalo limitado por las rectas verticales azules ¿qué puede afirmarse de (f*g)(x) y K?

4.- Repite los pasos anteriores dando distintos valores a K, cada vez mayores.

Si has contestado satisfactoriamente a las preguntas anteriores habrás obtenido que sea cual sea el valor de K es posible encontrar otro número positivo d tal que si la distancia entre x y a es menor que d, entonces f(x) es mayor que la raíz cuadrada de K y g(x) también, por lo tanto para esos valores de x (f+g)(x) será mayor que K.

En otras palabras, el límite de f*g cuando x tiende al punto a es infinito.

"Sean f y g dos funciones: f con límite infinito en el punto a y g con límite finito no nulo en a (llamaremos b a ese límite, con b distinto de cero). Entonces la función f*g tiene límite infinito en el punto a si b es positivo y límite menos infinito si b es negativo".

Es decir

Las características de la gráfica son las siguientes: Las funciones de color amarillo son f y g. La función de color turquesa es su producto. La línea verde horizontal representa una cota, K, que la función f*g debe superar o no rebasar (según que b sea positivo o negativo respectivamente) cuando x está cerca del punto a. La línea roja horizontal representa una cota (inferior si b es positivo, superior si b es negativo) de la función g(x) en las cercanías del punto a. La línea gris horizontal representa la cota K/m que la función f debe superar cerca del punto a. Las líneas azules verticales representan un entorno de radio d alrededor del punto a. El parámetro p permite que podamos hacer que la función g(x) se desplace verticalmente, con lo que b puede tomar el valor que queramos.

1.- Modifica el valor de p hasta conseguir que b sea positivo. Una vez hecho esto halla un valor de m que sea positivo y al mismo tiempo una cota inferior de g(x) en las cercanías del punto a. ¿Es siempre posible encontrar un tal valor m, con tal de que b sea positivo? ¿Por qué? Halla a continuación un valor d para el que se cumpla que si x dista de a menos que d, con toda seguridad g(x) es mayor que el valor m anterior. Anota el valor de d obtenido.

2.- Selecciona ahora un valor de K positivo tan grande como quieras. Averigua para qué valor de d se cumple que si x dista de a menos que d con toda seguridad f(x) es mayor que K/m, siendo m el valor obtenido en el apartado anterior. Anota el valor obtenido. ¿Es siempre posible encontrar un valor d que cumpla esta condición? ¿Por qué?

3.- Haz ahora que d tome el valor más pequeño de los dos que has obtenido y contesta a la siguiente cuestión. Si x está dentro del intervalo limitado por las rectas verticales azules ¿qué puede afirmarse de (f*g)(x) y K?

4.- Repite los pasos anteriores dando distintos valores a K, cada vez mayores.

5.- Modifica ahora el valor de p hasta conseguir que b sea negativo. Una vez hecho esto halla un valor de m que sea negativo y al mismo tiempo una cota superior de g(x) en las cercanías del punto a. ¿Es siempre posible encontrar un tal valor m, con tal de que b sea negativo? ¿Por qué? Halla a continuación un valor d para el que se cumpla que si x dista de a menos que d, con toda seguridad g(x) es menor que el valor m anterior. Anota el valor de d obtenido.

6.- Selecciona ahora un valor de K negativo tan pequeño como quieras. Averigua para qué valor de d se cumple que si x dista de a menos que d con toda seguridad f(x) es mayor que K/m, siendo m el valor obtenido en el apartado anterior (observa que al ser tanto K como m negativos, el cociente K/m será positivo). Anota el valor obtenido. ¿Es siempre posible encontrar un valor d que cumpla esta condición? ¿Por qué?

7.- Haz ahora que d tome el valor más pequeño de los dos que has obtenido y contesta a la siguiente cuestión. Si x está dentro del intervalo limitado por las rectas verticales azules ¿qué puede afirmarse de (f*g)(x) y K?

8.- Repite los pasos anteriores dando distintos valores a K, cada vez menores.

Si has contestado satisfactoriamente a las preguntas anteriores habrás obtenido que sea cual sea el valor de K (K positivo si b es positivo y K negativo si b es negativo) es posible encontrar otro número positivo d tal que si la distancia entre x y a es menor que d, entonces g(x) es mayor que una cierta constante positiva m si b es mayor que cero; g(x) es menor que una cierta constante negativa m si b es menor que cero y, en ambos casos, f(x) es mayor que K/m, por lo tanto para esos valores de x (f*g)(x) será mayor que K si b es positivo y menor que K si b es negativo.

En otras palabras, el límite de f*g cuando x tiende al punto a es más infinito si b es positivo o menos infinito si b es negativo.

Ejercicios.

¿Qué sucederá en el caso de que tanto f como g tiendan a menos infinito? ¿Y en el caso de que f tienda a menos infinito y g a más infinito? ¿Y en el caso de que f tienda a menos infinito y g a una constante no nula? Razona las respuestas.