POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
Geometría
 
1. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO
En el plano, dos rectas pueden adoptar dos posiciones relativas: cortarse en un punto o ser paralelas. En el espacio dos rectas pueden adoptar tres posiciones: las dos anteriores y además cruzarse. Visualizaremos en la siguiente escena esas tres situaciones; en ella aparecen dos rectas: una de color negro y otra de color rosa, cada una de ellas determinada por un punto y un vector. Modificaremos estas rectas para que vayan adoptando las tres posiciones fundamentales.
Las normas para girar, acercar y alejar siguen siendo la mismas.

1.-Gira con suavidad la figura para observar todos los objetos que aparecen en la escena. Verás que las dos rectas ni se cortan ni tienen la misma dirección. En esta situación decimos que las rectas se cruzan 
2.-px vale 3, cámbialo a 2; py vale 2, cámbialo a 3. Observa que ahora El punto P está sobre el punto Q (son el mismo) y las rectas se cortan en ese punto. 

3.-wx=3, cámbialo a 4; wy=2, cámbialo a 1; wz=2, cámbialo a 1. Observa que ahora w=v  y en realidad tenemos sólo una recta (coinciden ambas).

4.-qx=2, cámbialo a 4. Observa que ahora tenemos dos rectas distintas pero con la misma dirección, a esta situación le llamamos rectas paralelas. 

5.-La escena permite crear multitud de situaciones distintas, pero que básicamente se reducen a  las tres mencionadas. Consigue dos rectas que se corten y que estén contenidas en el plano horizontal. Consigue ahora dos paralelas contenidas en el plano  vertical XZ. Idem en el plano YZ. Consigue dos rectas que se corten en un punto del eje X por ejemplo el (2,0,0). Consigue que se crucen, pero que una pase por el origen y otra por el (0,0,3).

6.-Escribe las ecuaciones de las rectas anteriores.

2. DETERMINACIÓN DE LA POSICIÓN RELATIVA MEDIANTE CÁLCULO.
Los vectores directores y los puntos que utilizamos para escribir las ecuaciones de las rectas nos permiten calcular la posición relativa. Consideremos las matrices A y B formadas con estos elementos: 

cuando el rango de la matriz A es uno, es decir los vectores directores son iguales o proporcionales, las rectas son paralelas o coincidentes (la misma); serán coincidentes cuando el rango de B también sea 1 y paralelas cuando el rango de B sea 2.

Cuando el rango de A es dos y el rango de B también dos: las rectas  se cortan. El sistema que resulta al igualar sus ecuaciones paramétricas es compatible determinado.
Cuando el rango de A es dos y el de B tres: las rectas se cruzan. El sistema es incompatible.

Observa que, por estar contenida la matriz A en la B y tratarse de dos rectas bien definidas, no puede darse ninguna otra situación.
En la práctica construimos B y hallamos su determinante: si es distinto de 0 se cruzan, si es 0 proseguimos el estudio anterior.

Se introducen los datos y al final se pulsa la flecha negra de la derecha. No olvides pulsarla.
No hay limitación al valor de los datos.

7.-Trata de encontrar rectas paralelas, rectas que se corten , rectas que se crucen. Apunta las ecuaciones paramétricas y verifica los cálculos.
9.-Calcula la posición relativa en los siguientes casos:
P v Q w
(3,-3,2) (8,-5,4) (6,-6,4) (16,-10,8)
(3,-3,2) (8,-5,3) (6,-6,4) (16,-10,8)
(-2,-1,1) (8,-5,3) (3,-3,2) (3,-3,2)
(-3,3,7) (3,12,2) (3,-3,-12) (3,13,4)
Los datos grandes se introducen en las casillas y se pulsa intro tras cada uno. Observa que en el interior de la escena aparecen los datos introducidos

8.-Prepara rectas con datos adecuados para poder verificar visualmente su posición introduciéndolos en la escena superior.

Paralelas incluye el caso coincidentes:   P, v y Q, w determinan la misma recta.
       
           
  Jesús Fernández Martín de los Santos
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2003