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	TEOREMA DEl VALOR MEDIO O DE LAGRANGE
	Análisis

1. ENUNCIADO DEL TEOREMA

Teorema del valor medio O de Lagrange: Si una función f(x) está definida en un intervalo cerrado [a, b] y es:

1º) f(x) continua en [a, b].

2º) f(x) derivable en el intervalo abierto (a, b).

Entonces, existe al menos un punto c del intervalo (a, b), tal que f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a).

Geométricamente. la tesis significa que, en algún punto del intervalo (a, b), la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

2. JUGANDO CON EL TEOREMA. EJERCICIOS.

La primera escena es como la primera de la página del teorema de Rolle, añadiendo el segmento (de color negro) que une los puntos (-3, f(-3)) y (3, f(3)) y llamando n a su pendiente, n=(f(3)-f(-3))/(3-(-3)); además, f´(x) va siendo el valor de la derivada en el punto (x, f(x)), que coincide con la segunda coordenada del punto Q.

Sirven los comentarios hechos en la primera escena de la página del teorema de Rolle.

Lo que dice la tesis del teorema es que, en algún punto c de (-3, 3), es n=f´(c), es decir, el segmento que une (-3, f(-3)) con (3, f(3)) es paralelo a la tangente en algún punto de (-3, 3).

1. Prueba con varias funciones que cumplan las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo [-3, 3] y comprueba que cumplen la tesis, es decir, que la derivada toma un valor igual a n, o lo que es lo mismo, que la tangente en algún punto c de (-3, 3), es paralela al segmento que une (-3, f(-3)) con (3, f(3)).

Naturalmente, ésto no demuestra el teorema.

2. Dada la función f(x)=(x⁴+x³+x²-6x-15)/40, ¿cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [-3, 3]? En caso afirmativo, ¿cuál es el punto c de (-3,3) en el que se cumple la tesis? Comprueba el resultado analíticamente.

El punto c puede no ser único, según veremos en el siguiente ejemplo:

3. La función f(x)=(x⁴-2x²+4x+10)/40 cumple las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo [-3, 3], ¿cuáles son los puntos c del intervalo (-3, 3)? Comprueba el resultado analíticamente.

Si no se cumplen las hipótesis del teorema, la tesis puede cumplirse o no. Veamos un ejemplo de cada una de las dos situaciones volviendo a usar una escena análoga a la segunda de la página del teorema de Rolle:

4. Representar gráficamente la función f(x)=1/x. (Hacer p=0, q=1, r=0) ¿Qué hipótesis del teorema de Lagrange no cumple en el intervalo [-3, 3]? ¿Cumple la tesis? Comprueba el resultado analíticamente.

5. Representar gráficamente la función f(x)=1/(x²-1). (Hacer p=1,q=0, r=-1) ¿Qué hipótesis del teorema de Lagrange no cumple en el intervalo [-3, 3]? ¿Cumple la tesis? En caso afirmativo, ¿cuál es el punto c? Comprueba el resultado analíticamente.

Este ejemplo es el mismo que sirvió para ilustrar la misma situación en el caso del teorema de Rolle; se ha hecho así para poner de manifiesto una última idea: el teorema de Rolle es un caso particular del de Lagrange. Si en este teorema elegimos una función f(x) tal que f(a)=f(b),es decir, que los valores de la función coincidan en los extremos, tenemos el teorema de Rolle.

3. PROBLEMAS RESUELTOS..

Demostrar que la función f(x)=2x³-3x²-x+1 tiene exactamente una raíz en el intervalo (0, 1).

Solución: Como f(x) es continua y derivable en [0,1] y f(0)=1>0 y f(1)=2-3-1+1=-1<0, el teorema de Bolzano nos asegura que f(x) tiene una raíz en (0, 1).

Vamos a demostrar, por reducción al absurdo, que esta raíz es única:

Supongamos que f(x) tenga dos raíces distintas, c y c´en (0, 1). En el intervalo [c, c'] contenido en (0, 1), f(x) cumple las hipótesis del teorema de Lagrange (continuidad, derivabilidad y f(c)=f(c´)=0), luego f'(x) debería anularse en algún punto de (c, c´). Pero f'(x)= 6x²-6x-1 solamente se anula en x=1.14 y x=-0.14 aproximadamente, y estos puntos no están en el intervalo (c, c´) que estaba contenido en el (0,1).

El resultado obtenido se puede comprobar en la primera escena. Para facilitar el análisis, se puede estudiar la función 4f(x)/40, es decir, la función (8x³-12x²-4x+4)/40. (Hacer p=0, q=8, r=-12, s=4 y t=4 y la escala igual a 160).

Nota: Usando el lenguaje físico, si f(t) es la trayectoria de un móvil en función del tiempo t, si f(t) es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en (a, b), el cociente

es la velocidad media (espacio recorrido partido por tiempo empleado) y f'(t₀ )es la velocidad instantánea en el momento t₀. Lo que asegura el teorema de Lagrange es que, al menos en un instante, la velocidad instantánea es igual a la velocidad media.

Por ello, si se va de Madrid a Valencia (351 Kms.) en 3 horas, la velocidad media es de 117 Km./h., luego en algún momento, la velocidad instantánea debió ser exactamente 117 Km./h.

	Valerio Chumillas Checa

	© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001