Si una función f(x) está definida en un intervalo cerrado [a, b] y es:

1º) f(x) continua en [a, b].

2º) f(x) derivable en el intervalo abierto (a, b).

3º) f(a)=f(b).

Entonces, existe al menos un punto c del intervalo (a, b) tal que f´(c)=0.

La tesis del teorema dice que la función derivada se anula en algún punto del intervalo abierto, lo que en lenguaje geométrico significa que la tangente es horizontal en algún punto del intervalo abierto.

En la primera escena se pueden representar gráficamente (en color rojo) varias funciones polinomiales de grado menor o igual que cuatro, exactamente, del tipo f(x)=(px⁴+qx³+rx²+sx+t)/40, donde los parámetros p, q, r, s y t, se han elegido de forma que tomen como valores números enteros comprendidos entre -15 y 15, salvo s que varía entre -135 y 135. (A veces deberás cambiar la escala para ver mejor lo que quieres estudiar).

Aparece además la gráfica (en color verde) de la correspondiente función derivada f´(x), así como un punto Q (del que conocemos las coordenadas) que la va recorriendo cuando vamos variando la abscisa x. También aparece la tangente a la curva (de color azul) en su punto de abscisa x.

Finalmente, podemos ver dos segmentos verticales (de color magenta) que unen el punto (3, 0) con el (3, f(3)) y el (-3, 0) con el (-3, f(-3)), apareciendo estos dos puntos de la gráfica de la función en color rojo junto a sus coordenadas

Estudiaremos estas funciones en el intervalo [-3, 3]; no nos interesa lo que les ocurra fuera de él.

Para dibujar funciones que tomen el mismo valor en cada uno de los extremos del intervalo [-3, 3], basta con hacer s=-9q, es decir, todos los parámetros pueden tomar cualquier valor, excepto el s que debe ser igual al q multiplicado por -9.

1. Prueba con varias funciones que cumplan las hipótesis del teorema en el intervalo [-3, 3] (ya sabes que has de hacer s=-9q) y comprueba que cumplen la tesis, es decir, que la tangente es horizontal (o bien, la segunda coordenada de Q es cero) en algún punto del intervalo (-3, 3).

Naturalmente, ésto no demuestra el teorema.

2. Dibujar la gráfica de la función f(x)=(x⁴+x³+x²-9x-15)/40, (hacer p=q=r=1, s=-9 y t=-15) así como la de su derivada, ¿cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [-3, 3]? En caso afirmativo, ¿cuál es el punto c de (-3, 3) en el que se anula la primera derivada? Comprueba el resultado analíticamente.

El punto c puede no ser único, según veremos en el siguiente ejemplo:

3. La función f(x)=(x⁴-8x²)/40 cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [-3, 3], ¿en qué puntos del intervalo (-3, 3) se anula su primera derivada? Comprueba el resultado analíticamente.

Si no se cumplen las hipótesis del teorema, la tesis puede cumplirse o no. Veamos un ejemplo de cada una de las dos situaciones:

4. La función f(x)=(x⁴-4x³+4x²+5)/40 no cumple, en el intervalo [-3, 3] una de las hipótesis del teorema de Rolle, ¿cuál? Sin embargo, cumple la tesis, ¿en qué puntos del intervalo (-3, 3) se anula la primera derivada? Comprueba el resultado analíticamente.

5. La función f(x)=(3x⁴-14x³-9x²-24x)/40 no cumple una de las hipótesis del teorema de Rolle, ¿cuál? Tampoco cumple la tesis, ya que puedes ver que su primera derivada no se anula en ningún punto del intervalo (-3, 3).

La segunda escena es análoga a la primera, con la diferencia de que en ella se pueden representar gráficamente algunas funciones racionales (en color rojo); todas aquellas de la forma f(x)=1/(px²+qx+r), siendo p, q y r números enteros comprendidos entre -1 y 1. También están representadas gráficamente sus derivadas (en color verde). Los demás elementos son los de la escena anterior.

6. Representar gráficamente la función f(x)=1/x². (Hacer p=1,q=r=0) ¿Qué hipótesis del teorema de Rolle no cumple en el intervalo [-3, 3]? ¿Cumple la tesis? Comprueba el resultado analíticamente.

7. Representar gráficamente la función f(x)=1/(x²-1). (Hacer p=1,q=0, r=-1) ¿Qué hipótesis del teorema de Rolle no cumple en el intervalo [-3, 3]? ¿Cumple la tesis? En caso afirmativo, ¿cuál es el punto c? Comprueba el resultado analíticamente.