En este apartado vamos a analizar algunas de las propiedades más importantes de una función. Estas propiedades nos permitirán obtener información de gran interés sobre la misma.

Responde a las cuestiones que se plantean en la tabla siguiente.

1.- Haz que a tome el valor 1 y d tome el valor 0.75. Como puedes observar, los puntos rojos del eje de abscisas delimitan un entorno del punto a de radio 0.75. Modifica ahora el valor de x para que quede dentro del intervalo delimitado por los puntos rojos. Haz variar la x dentro de ese intervalo y fíjate en los valores que toma f(x) comparados con f(a). ¿Qué puede decirse de f(x) con respecto a f(a) si x está dentro del intervalo rojo pero a la izquierda del punto a? La misma cuestión por la derecha.

2.- Dale ahora al punto a el valor 4.5 y a d el valor 0.25. Vuelve a desplazar x al interior del intervalo rojo y responde a las mismas preguntas del apartado anterior.

3.- Repite las cuestiones con a=4.8 y d=0.20.

4.- Repite las cuestiones con a=6 y d=0.5.

5.- Repite las cuestiones con a=-0.9 y d=0.2.

Si has contestado correctamente a las preguntas de la tabla anterior, habrás obtenido la conclusión de que en el primero y en el segundo casos la respuesta es la misma: "Si x está en el entorno rojo, los valores de f(x) son mayores que los de f(a) si x está a la izquierda y menores si x está a la derecha". Observa que si haces que el entorno rojo sea más grande puede suceder que la respuesta anterior no sea correcta. Lo importante es que hemos podido encontrar un entorno en el que eso es cierto. La frase anterior significa que en las cercanías de a, cuanto más grande es x más pequeño es f(x). En esta situación se dice que la función f(x) es decreciente en el punto a.

De una manera más rigurosa:
Se dice que una función y=f(x) es decreciente en un punto a de su dominio si existe un entorno de dicho punto a, (a-d,a+d), tal que si x está en ese entorno y x £ a, entonces f(x) ³ f(a) y si x ³ a, entonces f(x) £ f(a).

En el cuarto caso habrás comprobado que la situación es a la inversa. Si x está en el entorno rojo y a la izquierda de a, entonces los valores de f(x) son menores que f(a) y si están a la derecha, mayores. En esta situación se dice que la función f(x) es creciente en el punto a.

De una manera más rigurosa:
Se dice que una función y=f(x) es creciente en un punto a de su dominio si existe un entorno de dicho punto a, (a-d,a+d) tal que si x está en ese entorno y x £ a, entonces f(x) £ f(a) y si x ³ a, entonces f(x) ³ f(a).

En el tercer caso habrás comprobado que si x está dentro del intervalo rojo, tanto si está a la izquierda como a la derecha del punto a, f(x) es siempre mayor que f(a). Puedes comprobar, que por muy pequeño que hagas el intervalo rojo esto siempre será así. En el último caso f(x) es siempre menor que f(a), tanto a la izquierda como a la derecha. En estos dos casos la función no es ni creciente ni decreciente.

En el apartado anterior hemos definido los conceptos de crecimiento y decrecimiento de una función en un punto. Las propiedades de una función que hacen referencia a puntos concretos reciben el nombre de propiedades locales de la función. Por lo tanto el crecimiento de una función es una propiedad local.

Diremos ahora que una función es creciente (o decreciente en su caso) en un intervalo cuando lo es en todos los puntos de dicho intervalo.

El concocimiento de los intervalos en los que la función crece o decrece proporciona una información de especial interés sobre esa función. Estos intervalos reciben el nombre de intervalos de monotonía de la función. En el ejemplo anterior la función es decreciente en el intervalo (-0'9,4'8) y decreciente en el resto de su dominio. Simbólicamente esto suele expresarse así:

Volvamos a uno de los casos del primer ejemplo de esta unidad didáctica. Determina a partir de la imagen adjunta los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función que se describe en la gráfica y da una interpretación del significado de que esa función sea creciente o decreciente.

Cuando una función es creciente (o decreciente en su caso) en todos los puntos de su dominio se dice que la función es monótona (creciente o decreciente).

Utilizando uno de los ejercicios de las páginas anteriores. Dibuja todas las funciones que se te indican al margen y todas las que tú quieras además. Para cada una de ellas determina sus intervalos de monotonía e indica en su caso si se trata de una función monótona o no.

Volvamos ahora a la primera gráfica de esta página. De los cinco casos que hemos estudiado en dos de ellos llegamos a la conclusión de que la función era decreciente y en otro que era creciente; pero nos encontramos con dos casos en los que no era ni una cosa ni la otra. Estos casos especiales reciben el nombre de extremos relativos de la función. Los extremos relativos de una función se caracterizan porque en sus alrededores la función toma valores más pequeños (o más grandes) que en el punto a considerado. En el primero de los casos diremos que en a hay un máximo relativo de f y en el segundo diremos que en a hay un mínimo relativo de f. Las palabras máximo y mínimo no deben llevarte a engaño en el sentido de que en ellos la función tome el valor más grande posible (o el más pequeño posible). En ese caso hablaríamos de máximos y mínimos absolutos. Como sucedía con las propiedades de crecimiento y decrecimiento, las propiedades de máximo y mímino relativo son propiedades locales. Con más rigor diremos:

Sea f(x) una función y a un punto de su dominio. Diremos que a es un máximo relativo (respectivamente, mínimo relativo) de la función f, si existe un entorno del punto a, I, tal que si xÎI, entonces f(x)£ f(a) (respectivamente, f(x)³ f(a). )

En la gráfica inicial de esta página tenemos que la función f(x) tiene un máximo relativo en el punto a=-0'9 y un mínimo relativo en el punto a=4'8.

Encuentra los máximos y mínimos relativos de las funciones del ejercicio anterior. Indica cuáles de esas funciones no tienen extremos relativos. Indica también si los máximos y mínimos relativos que encuentres son también máximos y mínimos absolutos.

Al igual que el conocimiento de las propiedades anteriores, el hecho de saber si la gráfica de una función presenta algún tipo de simetría nos permitirá conocer los valores que toma la función en determinada zona sin más que conocer los valores de la misma función en la zona simétrica. Una función puede presentar muy diferentes tipos de simetría, o ningún tipo en absoluto. De todos los posibles tipos de simetría que pueden presentarse hay dos que son fácilmente detectables y es en esos dos tipos en los que vamos a centrar nuestro estudio. Para ello haremos uso de dos ejemplos.

Ejemplo 1

Modifica los valores de x en la tabla siguiente y observa qué sucede con los valores de f(x) y de f(-x).

Como puedes comprobar, la gráfica anterior es simétrica con respecto al eje de ordenadas. Se dice que presenta simetría axial. Al modificar los valores de x la gráfica va mostrando también los valores de -x, de f(x) y de f(-x). Como habrás observado, para todo valor, x, del dominio de la función se cumple que f(-x)=f(x). Esta propiedad es tan importante que caracteriza a las funciones simétricas con respecto al eje de ordenadas. Algunas de las funciones más sencillas que cumplen esta propiedad son las potencias de x de grado par. Por este motivo todas las funciones que cumplen la condición f(-x)=f(x) reciben el nombre de funciones pares y su gráfica será necesariamente simétrica con respecto al eje de ordenadas.

Ejemplo 2

Modifica los valores de x en la tabla siguiente y observa qué sucede con los valores de f(x) y de f(-x).

Al modificar los valores de x la gráfica va mostrando también los valores de -x, de f(x) y de f(-x). Como habrás observado, para todo valor, x, del dominio de la función se cumple que f(-x)=-f(x). Observa, además el segmento que une los puntos P1 y P2 correspondientes a los puntos de la función de coordenadas x y -x respectivamente. Ese segmento siempre pasa por el origen de coordenadas y ambos puntos (P1 y P2) equidistan del origen. Esto significa que esta función es simétrica con respecto al origen de coordenadas (se dice que presenta simetría central). Lo que caracteriza a estas funciones es esa propiedad f(-x)=-f(x). Algunas de las funciones más sencillas que tienen esta propiedad son las potencias de x de grado impar. Por ese motivo todas las funciones que la cumplen reciben el nombre de funciones impares y sus gráficas serán simétricas con respecto al origen de coordenadas.

Averigua si alguna de las gráficas del ejercicio 3 son pares o impares o ninguna de ambas cosas. Intenta tú encontrar alguna función que sea par y alguna que sea impar. Dibújalas usando la escena del ejercicio 3 para comprobarlo.

En ocasiones es importante saber si una función puede tomar cualquier valor o no sobrepasará ciertos valores. Cuando sucede esto último se dice que la función está acotada, y esos valores que la función no sobrepasa reciben el nombre de cotas de la función. Más concretamente:

Decimos que una función está acotada superiormente si todos los valores de su recorrido son menores o iguales que un cierto número real K, al que llamaremos cota superior de la función. Desde el punto de vista gráfico, una función acotada superiormente tendrá su gráfica totalmente contenida en el semiplano que queda por debajo de una recta horizontal de ordenada K.

Diremos que una función está acotada inferiormente si todos los valores de su recorrido son mayores o iguales que un cierto número real, K, al que denominaremos cota inferior de la función. Desde el punto de vista gráfico, una función acotada inferioremente tendrá su gráfica totalmente contenida en el semiplano que queda por encima de una recta horizontal de ordenada K.

Diremos que una función está acotada cuando lo está superior e inferiormente.

A continuación se te pide que dibujes las gráficas de una serie de funciones. Determina para cada una de ellas si están acotadas (superior, inferiormente, ambas o ninguna). En caso de que así sea determina alguna cota (superior, inferior o ambas según el caso). En la gráfica podrás hacer uso de dos rectas horizontales para ayudarte a determinar posibles cotas superiores o inferiores.

Si una función está acotada superiormente, la más pequeña de todas sus cotas superiores recibe el nombre de extremo superior o mínima cota superior de la función y la representaremos mediante la expresión sup(f). Si, además, existe un punto a del dominio de la función tal que f(a)=sup(f), entonces se dice que esa cota es un máximo absoluto de la función, es decir, es el valor más grande que toma la función.

Si una función está acotada inferiormente, la mayor de todas sus cotas inferiores recibe el nombre de extremo inferior o máxima cota inferior de la función y la representamos mediante la expresión inf(f). Si, además, existe un punto a del dominio de la función tal que f(a)=inf(f), entonces se dice que esa cota es un mínimo absoluto de la función, es decir, es el valor más pequeño que toma la función.

En los ejemplos anteriores determina (caso de que existan) los extremos superior e inferior de cada función, indicando si son máximos y mínimos absolutos. Intenta encontrar alguna función acotada que no tenga ni máximo ni mínimo absoluto.