2. CÁLCULO DE LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN

En la escena están representadas la función
f(x)=x⁴-2x²-1, su derivada f'(x)=4x³-4x 

y la derivada segunda f''(x)=12x²-4

Para calcular los extremos relativos hemos de:

• Resolver la ecuación: f'(x)=4x³-4x=0  

• Soluciones: x=-1, x=0, x=-1

• Calcular el signo de la segunda derivada en estos valores

x=-1, f'(x)=0, f''(x)>0  mínimo en (-1,-2)

x=0, f'(x)=0, f''(x)<0  máximo en (0,-1)

x=1, f'(x) = 0, f''(x)>0  mínimo en (1,-2)

La escena muestra las gráficas de la función

y=2x/(x²+1) y su derivada y=f'(x)

• A la vista de estas gráficas, ¿en qué puntos corta y=f'(x) al eje de abscisas?. Para cada uno de esos valores de x, ¿cuál será el signo de f''?.

• Calcula la derivada: f'(x), resuelve f'(x)=0 y comprueba que las soluciones son x=1, x=-1

• ¿Qué signo presentan f''(1) y f''(-1)?

x=-1, f'(x)=0, f''(x)>0  mínimo en (-1,-1)

x=1, f'(x)= 0, f''(x)<0  máximo en (1,1)