MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Análisis
 

Veamos qué ocurre cuando tratamos con funciones derivables.


1.Máximos y mínimos relativos 2.Cálculo de máximos y mínimos 3.Ejercicios de aplicación

1. MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS

Una función y=f(x) alcanza un MÁXIMO relativo en xo cuando existe un entorno de xo en el que f(x)£f(xo)

Comprueba, cambiando el valor de x en la escena que este caso la función pasa de ser CRECIENTE a ser DECRECIENTE. Observa que la tangente es HORIZONTAL

Tenemos pues que:

Análogamente y=f(x) alcanza un MÍNIMO relativo en xo cuando existe un entorno de xo en el que f(x)³f(xo)

Ahora la función pasa de ser DECRECIENTE a ser CRECIENTE. También aquí la tangente es horizontal

 

Si una función es derivable y alcanza en xo un máximo o un mínimo, entonces f'(xo) = 0

  • Esta condición es necesaria pero no suficiente ya que puede ocurrir que una función tenga derivada nula en un punto pero no tenga en ese punto ni máximo ni mínimo.

Observa ahora la escena donde están representadas una función y=f(x),su derivada y=f'(x) y la derivada segunda y=f''(x)

Como puedes ver f alcanza un máximo en x=-1 y un mínimo en x=1. Cambia el valor de x en la escena y observa los valores de f' y f'' en estos puntos.

  • ¿Qué valores alcanzan el máximo y el mínimo?.

  • ¿Qué relación observas entre el signo de la segunda derivada y que f alcance un máximo o un mínimo?.

Si f'(xo) = 0 y f''(xo) <0, f alcanza un máximo en xo

Si f'(xo)=0 y f''(xo)>0, f alcanza un mínimo en xo


       
           
  María José García Cebrian
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001