GEOMETRÍA MÉTRICA
2º Bachillerato Ciencias de la Naturaleza y de la Salud, y Tecnológico
 
2.7 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN

Es la distancia que hay entre un punto de una y el plano que contiene a la otra y es paralelo a la primera.

A12.-Con esta escena veremos cómo obtener una fórmula para hallar la distancia entre las rectas r y s que cruzan.

En la parte inferior se cambia el nº del Paso.

Paso nº 0:

La recta r está determinada por un punto A y un vector director v.

La recta s está determinada por un punto A' y un vector director v'.

Pulsando con el botón derecho sobre la escena se pueden modificar las rectas cambiando los valores de A(a1,a2,a3), v=(v1,v2,v3), A'(a'1,a'2,a'3) y v'=(v'1,v'2,v'3).

Paso nº 1:

Aparece el vector AA' en verde.

Paso nº 2:

Aparece el vector v con origen en A'.

Paso nº 3:

Aparece el plano π que contiene a los vectores v y v', y al punto A'.

d(r,s) = d(A,π)

Puedes cambiar el  tamaño del plano para visualizarlo mejor

Paso nº 4:

Aparece la distancia entre las rectas.

El plano π está determinado por el punto A' y el vector característico (perpendicular al plano) v X v'.

 

A13.-Otra demostración de la expresión anterior está en la siguiente escena.

En la parte derecha de la escena se pueden cambiar las rectas modificando A(a1,a2,a3), v=(v1,v2,v3), A'(a'1,a'2,a'3) o  v'=(v'1,v'2,v'3)

Paso nº 0:

La recta r está determinada por un punto A y un vector director v.

La recta s está determinada por un punto A' y un vector director v'.

Paso nº 1:

Aparece el vector AA' en verde.

Paso nº 2:

El vector v' se traslada paralelamente hasta situarse con origen en A.

Paso nº 3:

Aparece el paralelepípedo determinado por los vectores v, v' y AA'. También está el plano que pasa por A' determinado por v y v': es el plano base del paralelepípedo.

Puedes cambiar el  tamaño del plano en Tam. plano para visualizarlo mejor

El volumen del paralelepípedo es el producto mixto de v, v' y AA':

 Volumen=|[v,v',AA']|=|det(v,v',AA')|

Pero también, Volumen=(área de la base)·(altura)=|v×v'|·(altura)

Paso nº 4:

Aparece la altura del paralelepípedo, que es la distancia entre las dos rectas.

Luego:                                

E7.-Estudia la posición relativa de las rectas  r≡x=−y=−z+1  y . Halla la distancia entre ellas según los valores de k.
       
           
  Juan Simón Santamaría
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2003